تابع- ریاضی دهم- درسنامه - مهدیه امین

سلام

در این مطلب میخواهیم به جمع بندی مبحث تابع (ریاضی دهم) بپردازیم. 

همچنین سوال یا پیشنهاد خودتون رو در قسمت کامنت های این مطلب مطرح کنید.

با ما همراه باشید!

مهدیه امین-فارغ التحصیل رشته مهندسی شیمی دانشگاه شریف

بسیاری از پدیده‌های پیرامون ما به نوعی با هم ارتباط دارند. یک نوع خاص از این ارتباط در موارد زیادی مشاهده می‌شود؛ مثل نمره‌هایی که به یک دانش‌آموز در دروس مختلف تعلق می‌گیرد. به وابستگی میان اعضای دو مجموعه رابطه می‌گویند.

تابع: یک تابع از مجموعه‌ی A به مجموعه‌ی B، رابطه‌ای بین این دو مجموعه است که در آن به هر عضو از A دقیقاً یک عضو از B نسبت داده می‌شود.

تعریف تابع در حالت‌های مختلف:

1. به فرم جدولی: اگر یک رابطه به صورت جدول بیان شده باشد، هنگامی این جدول بیانگر یک تابع است که مقادیر مولفه‌های اول جدول با هم برابر نباشند و یا اگر برابر بودند، مقادیر مولفه‌های دوم متناظر در جدول نیز با هم برابر باشند.

2. از لحاظ زوج مرتبی: یک تابع مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب است که در آن هیچ دو زوج مرتبی دارای مولفه‌های اول یکسان نباشند و اگر دو زوج مرتب دارای مولفه‌های اول یکسان باشند، آن‌گاه مولفه‌های دوم آن‌ها هم باید یکسان باشند.

مثال2: مجموعه {(7،4)،(2،5)،(1،1)} f= یک تابع است، زیرا هیچ دو زوج متمایزی دارای مولفه‌های اول یکسان نیستند.

3. از لحاظ نمودار پیکانی (ون): یک رابطه بین مجموعه‌های A و B که با نمودار پیکانی نمایش داده شده است، تنها در صورتی تابع است که از هر عضو A دقیقا یک پیکان خارج شود.

4. از روی نمودار مختصاتی: از نظر نموداری رابطه‌ای تابع خواهد بود که اگر هر خط موازی با محور y ها رسم شود، نمودار را در بیش از یک نقطه قطع نکند.

دامنه، برد و مقدار تابع

1. از روی جدول: مجموعه‌ی همه‌ی مقادیری که در مولفه‌های اول جدول قرار گرفته‌اند را دامنه تابع، مجموعه‌ی همه‌ی مقادیری که در مولفه‌های دوم جدول قرار گرفته‌اند را برد تابع می‌گویند. همچنین مولفه‌های دوم جدول مقادیر تابع به ازای مولفه‌های اول هستند.

2. از روی زوج مرتب: مجموعه همه‌ی مولفه‌های اول زوج‌های مرتب یک تابع، دامنه تابع و مجموعه همه‌ی مولفه‌های دوم زوج‌های مرتب یک تابع، برد تابع می‌گویند. همچنین مولفه‌های دوم جدول مقادیر تابع برای مولفه‌های اول هستند.

3. از روی نمودار پیکانی (ون): مجموعه‌ی همه‌ی عضوهای مجموعه اول (مجموعه‌ای که پیکان‌ها از آن خارج می‌شوند) دامنه تابع و مجموعه‌ی همه‌ی عضوهای مجموعه دوم برد تابع است. مقدار تابع نیز برابر عددی است که پیکان به آن وارد می‌شود.

4. از روی نمودار: در نمودار یک تابع، اگر نمودار به صورت نقاط باشد، مجموعه‌ی طول‌های نقاط دامنه و مجموعه‌ی عرض‌های نقاط برد است. همچنین اگر نمودار خط یا منحنی باشد، تصویر نمودار روی محور  xها بیانگر دامنه و تصویر نمودار روی محور yها بیانگر برد است. همچنین روی نمودار یک تابع، عرض هر نقطه به ازای طول آن نقطه را نشان می‌دهد.

انواع تابع

در تابع y =f(x)، به x متغیر مستقل و به y متغیر وابسته می‌گوییم.

توابع چندجمله‌ای: توابعی را که نمایش جبری آن‌ها، چند جمله‌ای‌های جبری از یک متغیر هستند، توابع چند جمله‌ای می‌نامیم.

نکته: تابع چندجمله‌ای درجه2 را سهمی و چندجمله‌ای درجه1 و صفر را تابع خطی می‌نامیم.

تابع همانی: اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند و هر عضو از دامنه تابع دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، تابع را همانی می‌نامند. اگر دامنه تابع همانی را R درنظر بگیریم، نمودار آن همان خط y = x است که با معادله f(x)=x هم نمایش داده می‌شود.

تابع ثابت: تابعی مانند f را که برد آن تنها شامل یک عضو است، تابع ثابت می‌نامیم. اگر این عضو را k بنامیم، تابع ثابت را معمولاً با معادله f(x)=k نمایش می‌دهیم. مثال7: 2=f(x) 

تابع قدرمطلق: تابعی که هر مقدار در دامنه را به قدرمطلق آن در برد نظیر می‌کند. نمودار تابع قدر مطلق به صورت شکل زیر می‌باشد.

دامنه تابع قدر مطلق برابر تمام اعداد حقیقی و برد آن برابر مجموعه اعداد نامنفی می‌باشد.

برای بیرون آوردن یک عبارت از قدرمطلق، اگر عبارت داخل کوچک‌تر از صفر باشد آن را در یک منفی ضرب می‌کنیم، در غیراینصورت خود عبارت را بیرون می‌آوریم. مثال7:

توابع چند ضابطه ای:

انتقال تابع

1. با داشتن نمودار تابعی مانند f(x)، می توان نمودار تابع  f(x)+kرا با انتقال نمودار f(x) به اندازه k واحد در امتداد محورyها به دست آورد. اگر  kمنفی باشد انتقال به اندازه k واحد به سمت پایین و اگر k مثبت باشد انتقال در جهت منفی خواهد بود.

2. برای رسم نمودار تابع f(x+k) کافی است نمودار تابع f(x) را  kواحد در امتداد محور xها انتقال دهیم. اگر k منفی باشد، انتقال به اندازه k واحد به سمت راست و اگر k منفی باشد، انتقال به اندازه k واحد به سمت چپ خواهد بود.

3. برای رسم نمودار تابع y=-f(x) قرینه نمودار y=f(x) را نسبت به محور xها رسم می‌کنیم.

پاسخ تست ها رو میتونید در pdf بارگذاری شده در انتهای مطلب مشاهده کنید. 

دوستان عزیزم؛ برای ارتباط با رتبه برترها صفحه اینستاگرام زیر رو دنبال کنید. 

رتبه برترهای کانون