تصور کنيد ميخواهيد ثابت کنيد بينهايت زوج عدد اول وجود دارد که تفاضلشان 2 است؛ به جاي آن ثابت ميکنيد بينهايت زوج عدد اول وجود دارد که تفاضلشان کمتر از 70,000,000 است. اين بزرگترين کشف رياضي سالهاي اخير است.
تصور کنيد قرار است ثابت کنيد تعداد نامتناهي زوج عدد اول وجود دارند که تفاضل آنها دو واحد است. به جاي آن ثابت ميکنيد تعداد نامتناهي زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل آنها کمتر از 70 ميليون رقم است. آيا فکر ميکنيد اين شکستي مفتضحانه است و بهتر است درباره آن سکوت کنيد؟ اگر اين طور فکر ميکنيد چيزي از دنياي شگفتانگيز رياضيات نميدانيد.
اگر داستان آليس در سرزمين عجايب را خوانده باشيد حتما با لانه خرگوش آشنا هستيد. آليس، در يک عصر تابستاني خرگوشي را دنبال ميکند و به دنبال او قدم به لانهاش ميگذارد و بلافاصله جهانش تغيير ميکند، هيچچيز آن طوري نيست که به نظر ميآمد بايد باشد. در اين دنيا اولويتها و منطقها و رفتارها تغيير ميکند. آليس همان آليس است، اما با قدم نهادن در لانه خرگوش ديدش به جهان تغيير ميکند و از دل آن است که ميتواند جهانهاي جديدي را نه تنها براي خود کشف کند که خوانندگان اين داستان را به کشف دنيايي فراسوي روزمرگي راهنمايي کند.
اين لانه افسانهاي خرگوش فقط زاييده ذهن رياضيداني با نام مستعار لوييس کرول نيست که داستاني را هنگام قايقراني براي شاگردش تعريف کرده است. در دنياي واقعي دروازههاي زيادي وجود دارد که وقتي قدم به آن بگذاريد دنياي متفاوتي در برابر چشمان شما شکل ميگيرد؛ دنيايي که اگر بيش از اندازه به روزمرگي معتاد شده باشيد به همان اندازه برايتان شگفتانگيز و معجزهآسا خواهد بود. رياضيات يکي از اين حفرههاي جادويي جهان است، دنيايي برآمده از منطق که تفسيرگر جهان ماست و رشد و پيشرفتش و فضا و ساختارش ساز و کار ويژه خود را دارد. وقتي به اين دنيا وارد ميشويد آنچه در ابتداي اين متن خوانديد ديگر شکست به شمار نميرود بلکه موفقيتي تاريخي و يکي از مهمترين کشفهاي رياضياتي معاصر بدل ميشود.
امنترين اعداد جهان
زماني کارل گاوس رياضيات را ملکه علوم و نظريه اعداد را ملکه رياضيات ناميده بود. شايد اگر اعداد اول را از محترم ترين ساکنان قلمرو اين ملکه بشماريم سخني به زياده نگفته باشيم. اعداد اول اعداد مهمي هستند. نه فقط به اين دليل که امروز بخش بزرگي از اطميناني که ما به رمزنگاري در کارهاي روزمره داريم (مانند تراکنشهاي بانکي يا خريدهاي اينترنتي با کمک کارتهاي اعتباري) به خاطر استفاده از اين اعداد است، بلکه به دليل ماهيت و جايگاهي که در بين اعداد طبيعي دارند مهم به شمار ميروند. اعداد طبيعي همان اعداد آشنايي هستند که هنگام شمارش به کار ميبريم، از يک شروع ميشوند و به ترتيب هر بار يکي به آنها افزوده ميشود و مجموعه اي مانند ...و3و2و1 ميسازند که به طور نامتناهي ادامه مييابد. در اين بين بعضي از اعداد وجود دارند (غير از 1) که فقط ميتوان آنها را به خودشان و به 1 تقسيم کرد. مثلا شما عدد 6 را ميتوانيد به 1، 2، 3 و 6 تقسيم کنيد و باقي مانده شما صفر شود؛ اما عددي مانند 3 فقط قابل تقسيم به 3 و 1 است همينطور عددي مانند 11، 17 يا 1- 2195,000× 2,003,663,613. چنين اعداد طبيعي را که تنها قابل تقسيم بر خود و يک هستند، اعداد اول مينامند.
شما به راحتي ميتوانيد چندين عدد اول را بشماريد، 2،3،5،7،11،13،17،19،23و ... اما هرچقدر اعداد طبيعي بزرگتر ميشوند فراواني و يا چگالي (تعداد اعداد اول در يک فاصله مشخص) نيز کاهش مييابد. هنوز فرمولي پيدا نشده که بتواند اعداد اول را توليد کند و هنوز دقيق نميدانيم که توزيع اين اعداد در بين اعداد طبيعي چگونه است. آيا با اضافه شدن به اعداد طبيعي ممکن است به جايي برسيم که فاصله ميان دو عدد اول متوالي نيز به سمت بي نهايت ميل کند و به جايي برسيم که هيچ دو عدد اول نزديک به همي را نتوانيم پيدا کنيم؟
يک فرض قديمي
يک فرض قديمي باعث ميشود رياضيدانها خوشبين باشند که چنين اتفاقي نميافتد. اين فرض که قدمت آن به دوران اقليدس (سده سوم پيش از ميلاد) ميرسد، بيان ميکند که تعداد نامتناهي زوج عدد اول (دو عدد اول) وجود دارند که فاصله آنها تنها دو واحد است. مثلا 3 و 5 را در نظر بگيريد اين دو عدد هر دو اول هستند و تنها دو واحد با هم فاصله دارند. 11 و 13 نيز همين ويژگي را دارند همينطور 17 و 19 و همينطور دو رقم 1- 2195,000× 2,003,663,613 و 1+ 2195,000× 2,003,663,613. حال سوال اينجاست که آيا چنين زوج اعدادي را ميتوان وقتي اعضاي رشته اعداد طبيعي به اندازه کافي بزرگ باشند هم پيدا کرد؟ اگر اين طور باشد بايد تعداد نامتناهي از اين زوج اعداد وجود داشته باشد.
اين فرض هنوز هم يکي از قديميترين مسايل حل نشده رياضيات است. علت اينکه به آن حدس ميگويند، اين است که اگرچه تا الان رياضيدانها نتوانستهاند وجود تعداد نامتناهي از اين زوجها را ثابت کنند، نتوانستهاند عدم وجود آنها را نيز ثابت کنند و در عين حال آن مقداري از اعداد اول را که پيدا کردهاند در بردارنده چنين زوج اعدادي هستند. چون در رياضيات يا يک گزاره درست است و يا نيست؛ پس تا زمان اثبات و يا رد منطقي و رياضي، اين گزاره به عنوان فرض باقي ميماند.
تلاشها براي بررسي اين وضعيت و رسيدن به نتيجه اي مناسب در سال 2005/1384 به اوج خود رسيد. در اين سال دنيل گلدستون از دانشگاه سنخوزه به همراه دو همکارش با انتشار مقالهاي نشان دادند تعداد نامتناهي زوج عدد اول وجود دارد که فاصله آنها حداکثر 16 واحد است. اين گام بزرگي به شمار ميرفت و ميتوانست رياضيدانها را در رسيدن به اثباتي براي نشان دادن وجود تعداد نامتناهي زوج عدد اول با فاصله دو رقمي اميدوار کند؛ اما در اين اثبات از فرض ديگري استفاده شده بود که خود آن فرض هنوز اثبات نشده است.
يک جهش بزرگ
به گزارش نيچر، وقتي ايتانگ ژانگ (Yitang Zhang ، صاحب تصوير به نمايش درآمده در آغاز متن) رياضيدان دانشگاه نيوهمپشاير نتيجه تحقيق خود را براي گروهي از همکارانش ارايه کرد و وقتي که رياضيدانهاي پيشرو در اين زمينه مقاله وي را مشاهده کردند، اين احتمال مطرح شد که گام غولآسايي در حل اين مساله تاريخي و مهم رياضياتي برداشته شده باشد. به نظر ميآيد او بدون آنکه از هيچ فرض تاييدنشدهاي کمک گرفته باشد و بدون آنکه ايراد و نقص آشکاري در روش کارش مشاهده شود، توانسته است ثابت کند که تعداد نامتناهي زوج عدد اول وجود دارند که حداکثر فاصله آنها از هم 70 ميليون واحد است.
شايد به نظر خيلي اميدوارکننده نباشد وقتي به دنبال زوج اعدادي با اختلاف دو واحد باشيد و به جاي آن به تفاوت 70 ميليون واحدي مواجه ميشويد؛ اما به ياد داشته باشيد شما در دنياي شگفتانگيز رياضيات هستيد. مدتهاست از آستانه لانه خرگوش عبور کردهايد و بايد قوانين اين دنيا را بپذيريد. اگر اين روش از پس بررسيهاي دقيق رياضيدانان سربلند خارج شود، موفقيتي بزرگ به شمار ميرود. درست است که 70 ميليون واحد فاصله به نظر خيلي زياد ميآيد، اما درنهايت فاصلهاي معنيدار و محدود است؛ يعني ما توانستهايم تعداد نامتناهي زوج عدد اول پيدا کنيم که فاصله ميان آنها کمتر از مرزي مشخص است. اين مرز اکنون به نظر ميرسد 70 ميليون باشد.
گلدستاين که خودش در تحقيق اخير نقشي نداشته اما يکي از رياضيدانهاي فعال در زمينه اعداد اول است، ميگويد: «انتظار ندارم اين روش را بتوان به گونهاي به کار برد که در نهايت ما را به صورت اصلي فرض که زوج اعداد با فاصله دو رقم است برساند. اما واقعيت اين است که باورم نميشد در زماني که زنده هستم شاهد چنين پيشرفتي باشم.»
اين اثبات (اگر تاييد شود) در نهايت ديد بهتري نسبت به توزيع اعداد اول در اختيار رياضيدانها قرار ميدهد و به شناخت آنها از اعداد اول کمک ميکند. شايد بپرسيد اينها به چه کار روزمره ما ميآيد؟ شايد براي کساني که بيرون لانه خرگوش ايستادهاند و مشغول خواندن روزنامهاي از خبرهاي روز هستند، کارآيي نداشته باشد اما اين رياضيدانان هستند که در نابترين شکل ممکن به بررسي و کشف ساختمان موجودي مشغولند که جهان ما و دنياي ما و انديشه ما براساس آن بنا شده است.