تفکر ریاضی به چه کار می‌آید؟ (قسمت سوم،گسترش حس مشترک با دنیا)

--------------------------------------------------------
برای مطالعه ی قسمت قبلی این مقاله به این لینک مراجعه کنید.

-------------------------------------------------------- 

در این لحظه، مصاحبه‌کننده‌ی نوجوان من احتمالاً صحبتم را قطع خواهد کرد و خواهد پرسید: "ریاضیات در کجای این صحبت‌ها جای دارد؟ درست است که والد یک ریاضی‌دان بود و راه حل او در مسئله‌ی جای گلوله‌ها نشانی است از نبوغ او، اما نکته‌ی مبتنی بر ریاضی این بحث کجاست؟ چیزی مخفی در راه حل او دیده نمی‌شود. از انتگرال و نامعادلات و فرمول‌های بزرگ نیز در حل این مسائل استفاده نشده است."

نخست این که والد از فرمول استفاده کرده است. من داستان را بدون باز کردن این مسائل تعریف کردم و فقط مقدمه‌ای از آن را برای شما شرح دادم. وقتی کتابی در مورد تولید مثل برای کودکان می‌نویسید، طبیعتاً وارد جزئیات نمی‌شوید. به جای آن، احتمالاً با چنین جملاتی کتاب را آغاز می‌کنید: "همه چیز در طبیعت در حال تغییر است، درختان برگ‌های خود را در زمستان از دست می‌دهند تا بتوانند در بهار آن‌ها را بازیابند؛ کرم ابریشم وارد پیله می‌شود تا بتواند به پروانه‌ای زیبا بدل گردد. شما نیز بخشی از این طبیعت هستید و ..."

ما اکنون در این بخش از کتاب هستیم. اما همه‌ی ما افراد بزرگ‌سالی هستیم. در ادامه به‌عنوان نمونه، بخشی از گزارش اصلی والد را با هم می‌بینیم:

امیدوارم خیلی شوکه نشده باشید.

با این حال، ایده‌ی اصلی پشت پرده‌ی بینش والد نیازی به این فرمول‌ها ندارد. ما همین جا کل این ایده را بدون استفاده از یک فرمول نشان دادیم. چه چیزی باعث می‌شود فکر کنیم همه‌ی این‌ها ریاضی هستند؟ آیا حس مشترک عمومی نیستند؟

درست است. ریاضیات مقوله‌ای از حس مشترک است که به وضوح می‌توان در سطوح پایه دید. چطور برای کسی می‌توان اثبات کرد که اضافه کردن هفت چیز با پنچ چیز نتیجه‌ای یکسان با اضافه کردن پنج چیز با هفت چیز دارد؟ نمی‌توان این کار را انجام داد: این حقیقت در شالوده‌ی روش تفکر ما در مورد ترکیب اشیاء شکل گرفته است. ریاضی‌دان‌ها علاقه‌مندند که پدیده‌های ساده‌ی اطراف خود را نام‌گذاری کنند:به جای این که بگویند " اضافه کردن این به آن، درست مانند اضافه کردن آن به این است"؛ می گویند " عمل جمع شرکت‌پذیر است." یا، از آن‌جا که کار با علائم را می‌پسندند، می‌نویسیم:

برای هر دو عدد a و b داریم : a + b = b + a

باوجود استفاده از این فرمول شیک، همه‌ی ما می‌دانیم که داریم در مورد چیزی صحبت می‌کنیم که هر کودکی نیز به طور غریزی از آن خبر دارد.

ضرب هم قانونی مشابه دارد. برای این عمل هم فرمولی به صورت زیر وجود دارد:

برای هر دو عدد a و b داریم :a x b = b x a

این گزاره، برخلاف گزاره‌ی مربوط به عمل جمع، در ذهن این فکر را القا نمی‌کند که این مسئله حس مشترک است. آیا این ایده که شش مجموعه‌ی دوتایی مقداری مشابه با دو مجموعه‌ی‌ شش‌تایی دارد، "حس مشترک" است؟ شاید این‌طور نباشد، اما می‌توان آن را به حس مشترک تبدیل کرد. توجه‌تان را به اولین خاطره‌ی ریاضیاتی خود جلب می‌کنم.

من کف خانه‌ی پدری‌ام دراز کشیده بودم؛ به‌طوری که گونه‌ام بر روی فرش بود و نگاهم به سیستم استریوی خانه دوخته شده بود. احتمالاً شش سال داشتم. دهه‌ی هفتاد میلادی بود و بلندگو‌ها بدنه‌های چوبی داشتند که آرایه‌ای مستطیلی از سوراخ‌ها در کناره‌هایشان بود. هشت سوراخ در وجوه جلو و عقب و شش سوراخ در وجوه بالایی و پایینی وجود داشت. تا این جا، من دراز کشیده‌ام و دارم به سوراخ‌ها نگاه می‌کنم. شش ردیف و هشت ستون سوراخ. با متمرکز کردن نگاهم، می‌‌توانستم یا ردیف‌ها را دقیق ببینم یا ستون‌ها را. شش ردیف که هرکدام هشت سوراخ دارند. هشت ستون که هرکدام شش سوراخ دارند.

همین موقع بود که به این نتیجه رسیدم. هشت گروه شش‌تایی دقیقاً برابر است با شش گروه هشت‌تایی. دلیل این کشف، استفاده از یک قانون نوشته شده نبود، بلکه دلیلش این بود که طور دیگری نمی‌شد به این مسئله نگاه کرد. تعداد سوراخ‌ها در بلندگو مقداری ثابت بود و این مقدار هر طور شمارش شود، تغییری در آن پیدا نمی‌شود.

ما دوست داریم ریاضیات را با فهرستی از قوانین تدریس کنیم. شما باید این قوانین را به ترتیب بیاموزید و از آن‌ها تبعیت کنید. اگر این کار را نکنید، نمره‌ی بسیار کمی می‌گیرید. اما " این ریاضیات نیست". ریاضیات عبارت است از مطالعه‌ی مباحثی که به شکلی خاص دیده می‌شوند و نمی‌توان آن‌ها را طوری دیگر دید.

بیایید منصفانه نگاه کنیم: نمی‌توان همه‌ی مباحث ریاضی را، مانند جمع و ضرب، به شکلی ساده و به صورت "حس مشترک" ارائه داد. کسی نمی‌تواند مسائل حساب را با حس مشترک حل کند، اما حساب هم‌چنان از حس مشترک ما نشأت گرفته است. نیوتن از بینش ذاتی ما از فیزیک در مورد حرکت اجسام در خط راست استفاده کرد، آن را فرمول‌بندی کرد و سپس بر مبنای این فرمول‌بندی، توصیفی جهانی از حرکت ارائه داد. با استفاده از نظریه‌ی نیوتون می‌توان مسائل پیچیده را حل کرد. مشابه همین مسئله، ما سیستم‌هایی درونی برای ارزیابی احتمال یک رخداد خاص داریم. اما این سیستم‌ها، به ویژه در مواجهه با مسائل پیچیده‌تر، بسیار ضعیف و غیرقابل اطمینان هستند. در این هنگام است که ما بینش ذاتی خود را با نظریه‌ها و تکنیک‌‌های مناسب درمی‌آمیزیم تا نظریه‌ی آمار ریاضی را به‌وجود آوریم.

زبان خاص ریاضیات که ریاضی‌دانان به وسیله‌ی آن با هم گفت و گو می‌کنند، ابزاری فوق‌العاده مفید برای انتقال صحیح و آسان مفاهیم پیچیده است. اما بیگانگی این زبان در نظر دیگر افراد جامعه ممکن است این ایده را در ذهن آن‌ها پدید آورد که تفکر مبتنی بر ریاضی مسئله‌ای است مخصوص ریاضی‌دانان. این فکر کاملاً غلط است.

ریاضیات مانند پروتزی قدرتمند است که قدرت مغز را بسیار افزایش می‌دهد. جدا از قدرت ریاضی و صورت نوشتاریِ گه‌گاه عجیب و غریبش، کار ذهنی صورت گرفته در حل مسائل ریاضی تفاوت چندانی با کار ذهنی صورت گرفته هنگام حل مسائل ساده‌تر روزمره ندارد. دوست دارم که تصویری از مرد آهنی که با مشتش دیوار را خُرد می‌کند در ذهنم داشته باشم. در عین حال، می‌دانم که نیروی عامل این شکستگی توسط عضلات تونی استارک وارد نمی‌شود، بلکه توسط مجموعه‌ای از سروُ مکانیسم[1] هایی که کاملاً هماهنگ شده‌اند و توسط یک ژنراتور ذرات بتای فشرده کار می‌کنند، اعمال می‌شود. از سوی دیگر، ‌از منظر تونی استارک، او دارد به دیوار مشت می‌زند و این کار را به همان‌گونه‌ای انجام می‌دهد که گویی بدون زره‌اش در حال انجام آن است. تنها تفاوت در این است که قدرت او همراه با زره، بسیار بیش‌تر است.

به تعبیر کلاسویتز[2]: ریاضیات عبارت است از بسط بینش درونی بشر با روش‌های دیگر.

بدون استفاده از ساختار دقیق ریاضیات، بینش ممکن است ما را به بی‌راهه ببرد. این همان اتفاقی است که برای افسران نظامی افتاد که می‌خواستند قسمت‌هایی از هواپیما را تقویت کنند که به خودی خود به اندازه‌ی کافی مقاومت داشت. اما ریاضیات رسمی، بدون در نظر گرفتن بینش ما و تعامل بین استدلال مجرد و بینش ما در مورد کمیت، زمان، فضا، حرکت، رفتار و عدم قطعیت، قطعاً چیزی جز تلاشی مجزا برای دنبال کردن قوانین و کتابداری نیست. به عبارت دیگر، ریاضی دقیقاً همان چیزی می‌شد که دانشجوی سرخورده‌ی درس حساب به آن فکر می‌کند.

خطر اصلی همین جاست. جان ون نومان[3]، در مقاله‌ای در سال 1947 ، تحت عنوان "ریاضی‌دان" می نویسد: به همان اندازه که تفکر مبتنی بر ریاضی از ریشه‌های تجربی خود دور می‌شود، و اگر نسل‌های دوم و سوم مستقیماً با ایده‌هایی از "واقعیت" ارتباط برقرار نکنند، آینده‌ی آن به شدت در خطر خواهد بود. در این حالت، ریاضیات رفته رفته به سمت زیبایی‌شناسی صرف می‌رود و روز به روز بیش‌تر "به هنر برای هنر" تبدیل خواهد شد. اگر زمینه‌ی مورد نظر مملو از موضوعات مرتبط به هم باشد و ارتباط تجربی معناداری با هم داشته باشند، این موضوع هنر شدن به‌طور کلی چیز بدی نیست. هم‌چنین، اگر موضوع مورد نظر تحت‌تأثیر شدید افرادی روشن با سلایقی خاص باشد هم مشکلی پیش نخواهد آورد. اما این خطر وجود دارد که موضوع مورد نظر در جهت‌‌هایی با حداقل مقاومت در برابر تغییر حرکت کند و به شاخه‌هایی بی‌شمار و بی‌اهمیت تبدیل شود که موضوع مورد نظر را به انبوهی از جزئیات و پیچیدگی‌های بدون نظم بدل می کند. به عبارت دیگر، در فاصله‌ای بسیار دور از منشأ تجربی‌اش یا در خلال بحث‌های انتزاعی، موضوعی که بر ریاضیات مبتنی است، در خطر متلاشی شدن قرار خواهد گرفت.

[1] servomechanisms

[2] Clausewitz

[3] John von Neuman