تفکر ریاضی به چه کار می‌آید؟ (قسمت دوم،داستان والد و گلوله‌ها)

--------------------------------------------------------
برای مطالعه ی قسمت قبلی این مقاله به این لینک مراجعه کنید.

-------------------------------------------------------- 

داستان "آبراهام والد و حفره‌های گمشده‌ی گلوله‌ها":

این داستان، مانند بسیاری از داستان‌های جنگ جهانی دوم، با تعقیب و گریز نازی‌ها آغاز می‌شود و با پشیمانی نازی‌ها از کردار خود پایان می‌یابد. آبراهام والد در سال 1920 در شهری که آن زمان، کلاوسنبرگ نام داشت، در امپراتوری اتریش-مجارستان به دنیا آمد. جنگ جهانی اول در دوره‌ی نوجوانی او به پایان رسیده بود و نام زادگاه او به "کلوج" در کشور رومانی تغیییر یافته بود. والد از همان نوجوانی در ریاضیات مستعد بود و این توانایی او خیلی زود کشف شد. او برای تحصیل ریاضیات به دانشگاه وین رفت و جذب موضوعاتی شد که برای خود ریاضی‌دانان هم بیش از حد انتزاعی تلقی می‌شدند: "نظریه‌ی مجموعه‌ها و فضاهای متریک".

در اوایل دهه‌ی 1930، زمانی که والد تحصیلاتش را به پایان برد، اتریش دچار بحران اقتصادی بود و امکان نداشت به یک خارجی برای تدریس در دانشگاه وین اجازه داده شود. سرانجام از سوی اسکار مورگنسترن به والد کاری پیشنهاد شد. مورگنسترن بعد‌ها به ایالات متحده امریکا مهاجرت کرد و در آن‌جا نظریه‌ی بازی‌ها را مطرح کرد، اما در آن زمان، یعنی سال 1933، او مدیر موسسه‌ی تحقیقات اقتصادی اتریش بود و والد را با حقوق ناچیزی برای کارهای مربوط به ریاضیات استخدام کرد. این شغل برای والد قدم مثبتی بود: تجربه‌ی او در علم اقتصاد منجر به دریافت پیشنهاد کمک هزینه‌ی تحصیلی از طرف کمیته‌ی کولز (موسسه‌ای اقتصادی در کلرادو اسپرینگز) شد. باوجود تشدید بحران‌های سیاسی، والد به دنبال راهی بود که او را از انجام کارهای مرتبط با ریاضی محض دور کند. در همین حین، نازی‌ها اتریش را تسخیر کردند و حالا انتخاب راه برای والد بسیار راحت‌تر شد. پس از چند ماه به او پیشنهاد استادی در دانشگاه کلمبیا داده شد. او هم بلافاصله راهی نیویورک شد و همان جا بود که شروع به جنگیدن کرد.

گروه پژوهشی آماری (SRG) برنامه‌ی محرمانه‌ای بود که نیروهای ایالات متحده را در جنگ جهانی دوم با هم هماهنگ می‌کرد. والد بیش‌تر دوره‌ی جنگ جهانی دوم را در این گروه سپری کرد. کار این گروه، چیزی مانند پروژه‌ی منهتن[1] بود با این تفاوت که خروجی آن به جای مهمات و تسلیحات، معادلات بود. گروه پژوهش آماری در منهتن، در خیابان 118 ام 401 غربی در ارتفاعات مورنینگ ساید، با فاصله‌ی کمی از دانشگاه کلمبیا قرار داشت. امروزه این بنا به‌عنوان یکی از دانشکده‌های دانشگاه کلمبیا و اتاق چند تن از اساتید مورد استفاده قرار می‌گیرد، اما در سال 1943، این بنا مرکز تحقیقات ریاضیات در زمان جنگ بود. در بخش ریاضیات کاربردی کلمبیا، هزاران زن جوان تمام وقت مشغول محاسبه بودند تا بتوانند فرمولی بهینه برای منحنی حرکت یک جنگنده بیابند که جنگنده با استفاده از آن بتواند دشمن را در تیررأس خود نگه دارد. در بخشی دیگر، گروهی پژوهشی از پرینستون در حال توسعه پروتکل‌‌هایی برای بمباران استراتژیک بودند. و بخش مربوط به بمب اتم از طرف دانشگاه کلمبیا نیز در یک اتاق آن طرف‌تر، مشغول کار بودند.

در این بین، گروه پژوهشی آمار قوی‌ترین و تأثیرگذارترین این گروه‌ها بود. فضایی که ایجاد شده بود ترکیبی از ذهن آکادمیک یک هیئت علمی و حس مشترک در اهدافِ مربوط به جنگ بود. آلن والیس، مدیر این تیم نوشته است که " وقتی توصیه‌ای ارائه می‌دادیم، اتفاقاتی رخ می‌داد. جنگنده‌ها با راهنمایی‌های جک ولفوویتز در رابطه با چگونگی ترکیب مهمات وارد میدان جنگ می‌شدند که ممکن بود موفق شوند یا از بین بروند. ناوگان هوایی، موشک‌هایی شلیک می‌کردند که از سوخت‌های مورد تأیید ابی گیرشیک استفاده می‌کردند. این موشک‌ها ممکن بود هواپیماهای خودمان را از بین ببرند یا هدف مورد نظر را نابود کنند."

کیفیت تیم ریاضی به همان اندازه‌ی ماموریت مهم بود. بنابر نوشته‌های والیس، گروه پژوهشی آمار "چه از لحاظ کمّی و چه از لحاظ کیفی، مستعدترین گروه از آماردانان بود که تا آن زمان گرد آمده بودند." فردریک موستلر، که بعد‌ها دانشکده‌ی آمار دانشگاه هاروارد را تأسیس کرد نیز در این گروه بود؛ هم‌چنین لئونارد جیمی، پیشرو در نظریه‌ی تصمیم‌گیری و یکی از مدافعان بزرگ آمار بیزی. نوبرت وینر، ریاضی‌دان و عضو هیئت علمی دانشگاه صنعتی ماساچوست (MIT) نیز گه‌گاهی به این گروه سر می‌زد. در این گروه، میلتون فرایمن، که بعدها جایزه‌ی نوبل اقتصاد را ربود، باهوش‌ترین فرد گروه نبود!

باهوش‌ترین عضو گروه مشخصاً آبراهام والد، استاد ریاضی دانشگاه کلمبیا بود که روح تخصص ریاضی را با خود به گروه آورده بود. با این حال، او به دلیل ملیتش، به گزارش‌های فنی که خود آن‌ها را تولید می‌کرد، دسترسی نداشت. بین همکاران گروه پژوهشی آمار، شایع شده بود که منشی‌ها بلافاصله پس از پایان تولید گزارش‌ها، آن‌‌ها را برگه برگه از والد می‌گرفتند که مبادا در خطر بیفتند. والد از جنبه‌هایی، عضو نامتعارف گروه بود. گرایش او، مانند همیشه، به سمت انتزاع بود تا کاربرد مستقیم. اما تمایل او به استفاده از استعدادش علیه متحدین مشهود بود و وقتی لازم می‌شد، ایده‌ای مبهم از ریاضیات به عمل تبدیل شود، والد کسی بود که حضورش در گروه لازم بود.

حال سؤال این‌جاست. اگر می‌خواهید هواپیماهایتان توسط دشمن زمین‌گیر نشوند، باید زره قوی‌تری برای آن‌ها در نظر بگیرید. اما زره قویتر، سنگین‌تر است و قدرت مانور هواپیما را کاهش و مصرف سوخت آن را افزایش می‌دهد. زره بیش‌تر برای هواپیما یک مسئله است و زره کم نیز مسئله‌ا‌ی دیگر. جایی بین این دو حالت ، یک حالت بهینه وجود دارد. دلیل استفاده از یک گروه ریاضی‌دان در یک آپارتمان در شهر نیویورک هم پیدا کردن همین حالت بهینه است.

ارتش با مجموعه‌ای از اطلاعات نزد گروه پژوهشی آمار آمدند. بدنه‌ی هواپیماهای آمریکایی که بعد از حمله‌ی خود به اروپا بازگشته بودند، پر از سوراخ گلوله بود اما این سوراخ‌ها به صورت یک‌نواخت در سطح هواپیما ایجاد نشده بودند. سوراخهای روی بدنه بیش‌تر از موتور بود.

قسمت های مختلف هواپیما- تعداد سوراخ‌های گلوله در هر فوت مربع:

افسران ارتش فرصتی برای بهینه‌کردن هزینه‌ها پیدا کرده بودند. می‌توانستند با استفاده از زره کم‌تر، امنیت هواپیما‌ها را حفظ کنند. پیشنهاد دادند که از زره بیش‌تری در قسمت‌هایی که بیش‌تر در تیررس گلوله‌ هستند، استفاده شود. اما چند درصد زره بیش‌تر باید به این بخش‌ها تخصیص پیدا می‌کرد؟ جواب این سؤال آن‌ها را به سمت والد کشاند، اما پاسخی از او نگرفتند.

والد گفت که نباید زره بیش‌تری به قسمت‌هایی که سوراخ گلوله‌ی بیش‌تری دارند اختصاص دهیم؛ بلکه باید برای قسمت‌هایی که کم‌تر هدف گلوله قرار گرفته‌اند، زره بیش‌تری در نظر بگیریم.

نگرش والد بسیار ساده بود، او پرسید که سوراخ‌های گمشده کجا هستند؟ منظورش این بود که اگر گلوله‌ها به طور یکنواخت در سطح کل هواپیما پخش می‌شدند، چه اتفاقی می‌افتاد؟ جواب این سؤال را هم خود او می‌دانست. سوراخ گلوله‌های گمشده در هواپیماهایی دیده خواهد شد که از بین رفته‌اند. دلیل این که این هواپیما‌ها توانسته‌اند از مأموریت بازگردند این است که گلوله‌های کم‌تری به موتورشان خورده است و هواپیماهایی که گلوله‌های بیش‌تری به موتورشان اصابت کرده برنگشته‌اند. این که هواپیماهای زیادی با وجود تعداد زیادی سوراخ گلوله در بدنه توانسته‌اند به مقر خود بازگردند، مدرک بزرگی دال بر این مسئله است که بدنه‌ی هواپیماها توان تحمل تعداد زیادی گلوله را دارد. اگر به یک بیمارستان بروید، تعداد مصدومانی که تیر به پای آن‌ها خورده است بسیار بیش‌تر از تعداد مصدومانی است که گلوله به قفسه‌ی سینه‌شان اصابت کرده است، اما این دلیل موجهی نیست که مردم کم‌تری از ناحیه‌ی قفسه‌ی سینه مورد اصابت گلوله قرار می‌گیرند؛ بلکه دلیلش این است که آن‌هایی که تیر به قفسه‌ی سینه‌شان می‌خورد، می‌میرند.

اجازه دهید که یک ترفند ریاضی قدیمی را به شما نشان دهم که این موضوع را کاملاً روشن می‌سازد: یک یا چند متغیر را برابر صفر قرار دهید. در داستان ما، متغیری که باید تغییر دهیم، این احتمال است که گلوله‌ای به موتور هواپیما برخورد کند و هواپیما هم‌چنان بتواند در آسمان بماند و پرواز کند. اگر این احتمال را برابر صفر قرار دهیم، به این معناست که با اصابت یک گلوله به موتور، سقوط هواپیما حتمی است. سؤال این‌جاست که در این حالت داده‌های ما چه شکلی پیدا خواهند کرد؟ ما تعدادی هواپیما داریم که در همه جای آن‌ها، به‌غیر از موتور آثار گلوله وجود دارد. در این حالت، تحلیلگر نظامی دو گزینه برای توضیح این داده‌ها دارد: نخست این که گلوله‌های آلمان‌ها به طرز معجزه‌آسایی به همه جای هواپیما برخورد کرده است به غیر از موتور، دوم این که موتور آسیب‌پذیرترین نقطه‌ی هواپیماست. هر دو گزینه داده‌های موجود را توصیف می‌کنند، اما گزینه‌ی دوم بسیار منطقی‌تر است. بنابراین، زره بیش‌تر باید در جایی مورد استفاده قرار گیرد که سوراخ کم‌تری در آن دیده می‌شود.

توصیه‌های والد به سرعت عملی شدند و حتی تا زمان جنگ کره و جنگ ویتنام هم در ناوگان هوایی و دریایی مورد استفاده قرار می‌گرفتند. می‌توان دقیقاً مشخص کرد که این توصیه‌ها، چند هواپیمای آمریکایی را نجات دادند. گرچه، مطمئناً نسل جدید افرادی که در گروه پژوهشی آمار در ارتش فعالیت دارند، از این عدد مطلع هستند. چیزی که وزارت دفاع آمریکا به آن پی‌برده این است که کشورها فقط با استفاده از نیروهای شجاع‌تر، آزادتر یا با خداتر در جنگ پیروز نمی‌شوند. برنده معمولاً کسی است که 5% کم‌تر از جناح رقیب هواپیما از دست می‌دهد، یا 5% کم‌تر سوخت مصرف می‌کنند یا 5% غذای بیش‌تر به نیروی زمینی خود تزریق می‌کنند و هزینه‌ی این غذا را هم 5% درصد کم‌تر می‌کند. این چیزها را در فیلم‌های جنگی نشان نمی‌دهند، اما شالوده‌ی جنگ همین چیزهاست و تمام این‌ها، در تمام مراحل، ریاضیات هستند.

چطور شد که والد به چیزی دقت کرد که افسران ارتش، با اطلاعات عظیمی که از جنگ هوایی داشتند، به آن توجه نکردند؟ این به نوع تفکر مبتنی بر ریاضی او مربوط می‌شود. یک ریاضی‌دان معمولاً از خود می‌پرسد که "فرضیات شما چیست و آیا توجیه مناسبی دارند؟" این فرایند ممکن است کمی خسته‌کننده باشد، اما بسیار مفید است. در داستان ما، افسران ارتش ناآگاهانه فرضیه‌ای را مطرح کرده بودند: هواپیماهایی که بازگشته بودند، نمونه‌ای تصادفی از کل هواپیماها بودند. اگر این فرضیه درست می‌بود، می‌توانستیم توزیع سوراخ‌ها در بدنه‌ی هواپیماهایی را که بازگشته‌اند، به کل هواپیماها تعمیم دهیم. اگر چنین فرضی کرده‌اید، به سرعت معلوم می‌شود که کاملاً در اشتباه هستید. هیچ دلیلی ندارد که انتظار داشته باشیم احتمال از بین رفتن همه‌ی هواپیماها، صرف نظر از محل اصابت گلوله، یکسان باشد.

در بخشی از زبان ریاضی در مقالات بعدی به این موضوع اشاره خواهیم کرد که نرخ از بین نرفتن هواپیماها و محل اصابت گلوله‌ها به هم مرتبط[2] اند.

مزیت دیگر والد، تمایل او به مسائل انتزاعی بود. ولفوویتز که در کلمبیا و زیر نظر والد مطالعه می‌‌کرد، نوشته است که مسائل مورد علاقه‌ی والد، عموماً "انتزاعی‌ترین‌ها" بود و او "همواره آماده بود که در مورد ریاضیات صحبت کند، اما تمایلی به افزایش محبوبیت و کاربردی کردن ریاضیات نداشت".

شخصیت والد چنان بود که توجهش را به مسائل کاربردی جلب کردن مشکل بود. جزئیات مربوط به هواپیماها و تسلیحات، در چشم او بی‌اهمیت بودند. او به سرعت توجه خود را به سمت جزئیات ریاضی داستان جلب کرد. برخی اوقات، این رویکرد ممکن است باعث بی‌توجهی به جزئیاتی شود که در حل مسئله اهمیت دارند. اما از طرف دیگر، این رویکرد به فرد کمک می‌کند که تشابه بین مسائل را بدون توجه به جزئیات سطحی و متفاوت آ‌ن‌ها کشف کند. در این صورت، یک ریاضی‌دان در حل مسائل مختلف تجربه‌ای معنادار دارد، حال آن‌که ممکن است در خود آن حیطه تجربه‌ای نداشته باشد.

از چشم یک ریاضی‌دان، شالوده‌ی اصلی مسئله‌ی سوراخ گلوله‌ها پدیده‌ای به نام تعصب بقا[3] است. این پدیده در مباحث مختلفی خود را نشان می‌دهد و به گفته‌‌ی والد، وقتی با این پدیده آشنا باشید، توجه به آن امر ساده‌ای خواهد بود.

این مسئله مانند صندوق سرمایه‌گذاری مشترک [4] است. وقتی می‌‌خواهیم عملکرد بودجه‌ی تخصیص یافته را مورد بررسی قرار دهیم، مجالی برای خطا وجود ندارد. حتی یک تغییر یک درصدی در رشد سالانه، ممکن است حد فاصل تفاوت بین یک دارایی ارزشمند مالی و یک چیز بی‌ارزش باشد.

یکی از قسمت‌های مورنینگ استار، بخش مخلوط بزرگ آن است که صندوق سرمایه‌گذاری مشترکی در شرکت‌های بزرگی دارد که نماینده‌ی500 S&P ا[5]هستند. وضعیت این بخش مانند حالتی است که در بالا ذکر شد. سرمایه‌های این بخش بین سال‌های 1995 و 2004 به طور متوسط 4/178% رشد داشت که معادل با رشد سالانه‌ی مناسب 8/10 % است. به نظر می رسد که اگر کسی پول نقد در اختیار داشت، باید در این بخش سرمایه گذاری می‌کرد. درست است؟

جواب این‌ سؤال منفی است. در پژوهشی که توسط شرکت ساوانت کپیتال در سال 2006 صورت گرفت، چهره‌ای مغموم‌تر از این اعداد به نمایش درآمد. بهتر است دوباره به روش محاسبه‌ی رشد در شرکت مورنینگ استار دقت کنیم. در سال 2004، همه‌ی سرمایه‌های محرمانه را به‌عنوان مخلوط بزرگ در نظر می‌گیریم و میزان رشد آن‌ها را در ده سال اخیر ارزیابی می‌کنیم.

چیزی که دیده نمی‌شود، سرمایه‌هایی است که در این ارزیابی وارد نشده‌اند. صندوق سرمایه‌ی مشترک چیزی دائمی نیست. برخی از سرمایه‌ها رشد می کنند، برخی نیز از بین می‌روند. اکثر سرمایه‌هایی که از بین می‌روند سودده نیستند. بنابراین، ارزیابی سرمایه‌های مشترک، فقط با بررسی آن‌هایی که هنوز در پایان دوره‌ی ده ساله وجود دارند، صورت می‌گیرد؛ مانند ارزیابی مانورهای خلبانان فقط با توجه به هواپیماهایی که از جنگ برگشته‌اند. حال اگر در هر هواپیما فقط یک سوراخ گلوله پیدا می کردیم چه می‌شد؟ نتیجه‌گیری غلط این می‌بود که خلبانان ما قدرت مانور بسیار بالایی دارند و نتیجه‌گیری درست این می‌بود که هواپیماهایی که بیش از یک گلوله به آن‌ها اصابت کرده است، سقوط کرده‌اند.

مطالعه‌ی ساوانت نشان داد که اگر عملکرد این سرمایه‌های از بین رفته را هم همراه با سرمایه‌های موجود در نظر بگیریم، آهنگ این رشد به 5/134% افت می‌کند که نشانگر رشد معمولی 9/8% در سال است. پژوهش‌های جدیدتر نیز این نتیجه را تأیید کردند. در سال 2011، مطالعه‌ی جامعی بر وضعیت مالی با بیش از 5000 سرمایه‌گذاری نشان داد که نرخ رشد 2641 سرمایه که هنوز پابرجا هستند، حدود 20% بیش‌تر از حالتی است که همه‌ی سرمایه‌ها، هم آن‌هایی که هنوز پابرجا هستند و هم آن‌هایی که از بین رفته‌اند، مورد بررسی قرار می‌گیرند. میزان اثر این مسئله، سرمایه‌گزاران را متعجب کرد، اما احتمالاً این نتایج آبراهام والد را متعجب نکرد.

[1] پروژه‌ی منهتن نام پروژه‌ای است که به ساخت بمب اتم انجامید و در زمان جنگ جهانی دوم از آن استفاده شد. این پروژه با محوریت آمریکا و همکاری بریتانیا و کانادا اجرا شد.

[2] correlated

[3] Survivorship bias

[4] Mutual funds

[5] Standard & Poor's 500