نهار مجانی
روزي 10 نفر دوست دبستاني براي جشن تولدي به يك رستوران دعوت شدند. وقتي همه جمع شدند و نهار آورده شد ، برسر اين كه، چه كسي كجا بنشيند بين آن ها بحثي در گرفت …
يكي از آن ها پيشنهاد كرد برحسب حروف الفبا كنار هم بنشينند ،يكي گفت بر اساس سن، سومي معدل نمرهها را پيشنهاد كرد، ديگري قدو... . بحثشان طولاني شده بود كه پيشخدمت آن ها را به آرامش دعوت كرد و از آنها خواست تا همان جايي كه ايستاده اند،پشت ميز [دريك رديف] روي صندليها بنشينند.
سپس گفت: حالا خواهش ميكنم يكي از شما اين ترتيبي را كه نشستهايد يادداشت كند، فردا دوباره براي خوردن غذا اين جا بياييد و با ترتيب ديگري بنشينيد و روزهاي بعد به همين شكل بهترتيب جديدي بنشينيد تا همهي حالتهاي ممكن را امتحان كنيد. من هم قول ميدهم وقتي دوباره نوبت بههمين ترتيبي كه اكنون نشستهايد، رسيد ؛ آن روز از شما به طور مجاني پذيرايي كنم .
پيشنهاد را پسنديدند و قرار گذاشتند هر روز در آن رستوران جمع شوند و حالتهاي مختلف را امتحان كنند تا هر چه زودتر نوبت نهار مجاني برسد ولي چنين روزي هرگز نرسيد ، نه به خاطر بد قولي پيشخدمت،بلكه به اين علت كه تعداد انواع ممكن نشستن، بياندازه زياد بود. اين تعداد بدون كم و زياد برابر با 3628800 بود. بهراحتي ميشود حساب كرد كه اين تعداد روز، بيش از 9900 سال ميشود.
حال براي اينكه راحتتر به قبول اين گفته برسيد، ابتدا تعداد دوستان را برابر 3 ميگيريم و سه دوست را با A,B,C نشان ميدهيم .
ميخواهيم ببينيم چند جور ميتوان آنها را دريك رديف نشاند؟
بحث را اينطور شروع ميكنيم: اگر C را كنار بگذاريم، دو دوست باقي ميمانند كه آنها فقط به دو روش ميتوانند كنار هم قرار بگيرند:.AB , BA حال ببينيم دوست C در هر يك از اين دو حالت ، چند جور ميتواند بنشيند؟
براي هر حالت ، سه وضع پيش ميآيد:
1- C قبل از دو دوست بنشيند.
2- C بعد از دو دوست بنشيند.
3- C وسط دو دوست بنشيند.
بنابراين همهي حالتهاي ممكن براي سه دوست برابر با ×2حالت خواهد شد.
اكنون 4 دوست را در نظر ميگيريم و آن ها را با A,B,C,D نشان ميدهيم. دوباره يكي از آنها ،مثلا" D را كنار ميگذاريم و با سه دوست، همهي حالتهاي ممكن را در نظر ميگيريم . ميدانيم كه تعداد حالتها برابر 6 خواهد شد. حال ببينيم دوست D در هريك از اين 6 گروه سهتايي چند جور ميتواند بنشيند؟
براي هر گروه ، چهار وضع پيش ميآيد:
1- D قبل از سه دوست ديگر بنشيند.
2- D بعد ازسه دوست ديگر بنشيند .
3- D بين دوست اول و دوم بنشيند .
4- D بين دوست دوم وسوم بنشيند.
به اين ترتيب ×6 يا به عبارت ديگر ×3×2×1حالت خواهيم داشت، اگر به همين ترتيب براي حالتي كه 5 دوست داريم ،ادامه دهيم؛ تعداد حالت هاي ممكن برابر خواهد شد با: ×4×3×2×1 .
و براي 6 دوست خواهيم داشت: ×5×4×3×2×1
و بههمين ترتيب براي وقتي كه تعداد دوستها بيشتر باشند. حالا به موضوع 10 نفري كه منتظر غذاي مجاني بودند، بر ميگرديم. اگر بخواهيم تعداد حالتها را براي 10 دوست پيدا كنيم بايد زحمت ضرب زير را تحمل كنيم:
10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 و در اين صورت به همان عددي كه قبلا" گفتيم ،خواهيم رسيد ،يعني : 3628800 .
حالا اگر 5 نفر از افراد حاضر در اين مهماني دختر و 5 نفر پسر باشند و بخواهند طوري پشت ميز، كنار هم بنشينند كه يكي در ميان پسر و دختر باشند، تعداد حالتها كمتر و محاسبهي آن كمي مشكلتر ميشود.
فرض كنيد يكي از پسرها بهطور دلخواه، پشت ميز بنشيند، بقيهي 4 پسر باقيمانده ، در حالي كه جاي دخترها را بين خود خالي نگه ميدارند ،ميتوانند به ×3×2×1 حالت مختلف بنشينند و با توجه به اين كه پسر اول به 10 حالت مختلف مي تواند پشت ميز بنشيند، پس تعداد حالتهاي نشستن براي پسرها برابر است با: ×10 .
حال ببينيم دخترها چند جور ميتوانند روي صندليها بنشينند؟ واضح است كه:
×4×3×2×1 . به اين ترتيب اگر 240 حالت قرار گرفتن پسرها را در 120 حالت قرار گرفتن دخترها ضرب كنيم، تعداد حالتهاي ممكن بهدست خواهد آمد: ×240 .
اين عدد خيلي كوچكتر از عدد قبلي است، در اين مورد تقريبا" 79 سال وقت لازم است. اگر مهمانها هر كدام 100 سال عمر كنند، ميتوانند بعد از آن، يا از خود پيشخدمت يا بازماندگان او نهار مجاني مطالبه كنند.
منبع: انجمن ریاضیدانان جوان