سلام دوستان ! ✋
در این مطلب قصد داریم بخش تجانس از تبدیل هندسی پایه یازدهم را در قالب درسنامه و تست بررسی کنیم.
در این مطلب پنج تست از تجانس قرار دادیم .
اگر سوالی از این مطلب دارید در قسمت کامنت ها بپرسید .
برای دریافت پاسخ تستی و تشریحی ، مطلب را از قسمت فایل های ضمیمه دانلود کنید.
فاضل مهرآئین _ دانشجوی مهندسی مکانیک صنعتی شریف _ رتبه 333 منطقه یک
برای ارتباط با برترها و رزرو پشتیبان ویژه پیج کانون برترها را دنبال کنید.
همچنین میتوانید با شماره ۰۲۱۸۴۵۱ داخلی ۳۱۲۳ تماس بگیرید.
تجانس
تعریف تجانس: تجانس به مرکز ثابت O و نسبت k تبدیلی است که در آن هر نقطه M به نقطه N چنان تصویر می شود که:
1) هر سه نقطه O ، M و N روی یک امتداد باشند.
2) ON=k.OM
3)اگر k >0 آنگاه M و N در یک طرف O و اگر k<0 آن گاه M و N در دو طرف O قرار دارند.
تذکر: با توجه به تعریف تجانس می توان گفت اگر N مجانس M به مرکز O و نسبت k باشد، در این صورت M نیز مجانس N به مرکز O و نسبت معکوس k است.
تجانس با ضریب مثبت را تجانس مستقیم و تجانس با ضریب منفی را تجانس معکوس گویند.
در تجانس با نسبت l k l > 1 تصویر شکل بزرگ تر شده و تجانس را انبساط گویند و در تجانس با نسبت l k l<1 تصویر شکل کوچک تر شده و تجانس را انقباض گویند.
مثال:
تجانس در حالت کلی طولپا نیست، مگر در حالت خاصی که l k l = 1 باشد. تجانس با نسبت k=1 یک تبدیل همانی است زیرا در این تبدیل هر نقطه از صفحه روی خودش تصویر می شود.
تجانس در حالت کلی فقط یک نقطه ثابت تبدیل دارد که آن هم مرکز تجانس می باشد، اما در تجانس همانی ( k=1 ) بی شمار نقطه ثابت تبدیل داریم.
ویژگی های تجانس:
1) تجانس، اندازه زوایا را حفظ می کند.
2) در تجانس، پاره خط های متناظر، موازی می باشند. بنا بر این تجانس شیب خطوط را حفظ می کند.
3) خطوطی که نقاط متناظر را به هم وصل می کنند، همگی در مرکز تجانس همرس می باشند.
4) در هر تجانس، نسبت طول پاره خط های متناظر، با قدر مطلق نسبت تجانس برابر است. یعنی l k l =(A´B´)/(AB)
نتیجه: در تجانس، شکل اولیه و تصویر آن متشابه می باشند و نسبت این تشابه با نسبت تجانس یکسان می باشد. بنا بر این تجانس به نسبت k ، طول را با ضریب l k l و مساحت را با ضریب k^2 تغییر می دهد.
5) مجانس های یک شکل نسبت به یک مرکز ثابت O و نسبت های k1 و k2 ، خود مجانس یکدیگرند. به طوری که مرکز این تجانس همان نقطه O و نسبت تجانس k1/k2 است.
تجانس در اشکال هندسی معروف:
1) هر دو خط موازی مجانس یکدیگر می باشند. در این حالت قدر مطلق نسبت تجانس برابر است با نسبت فاصله های مرکز تجانس تا دو خط. یعنی:
تذکر: از این روش برای محاسبه قدر مطلق نسبت تجانس دو پاره خط نیز می توان استفاده کرد.
2) هر دو پاره خط موازی، مجانس یکدیگر می باشند. مرکز تجانس آنها نقطه تلاقی خطوطی است که تقاط متناظر دو سر آنها را به هم وصل می کند.
در این حالت نسبت طول دو پاره خط با قدر مطلق نسبت تجانس آنها برابر می باشد.
بدیهی است که اگر دو پاره خط هم طول باشند، تجانس مستقیم ندارند.
3) مجانس هر چند ضلعی، یک چند ضلعی متشابه با آن است، اما عکس این مطلب همواره صحیح نیست. یعنی هر دو چند ضلعی متشابه لزوما مجانس یکدیگر نیستند. هر دو چند ضلعی متشابه، فقط زمانی مجانس یکدیگرند که هر یک از اضلاع متناظر آنها موازی یکدیگر باشند.
4) هر دو دایره، مجانس یکدیگر می باشند. مرکز تجانس آنها نقطه تلاقی مماس مشترک و خط المرکزین دو دایره می باشد. در این حالت نسبت اندازه های دو شعاع، با قدر مطلق نسبت تجانس آنها برابر می باشد.
مثلث متساوی الاضلاع ABC به طول ضلع a را تحت بردار AG ( G محل برخورد میانه های مثلث است.) انتقال می دهیم تا مثلث DEF حاصل شود. اگر محل تلاقی DE و DF با ضلع BC را به ترتیب M و N بنامیم، طول پاره خط MN کدام است؟ (سخت-آزمون کانون-91)
2a/3(4 a/2(3 a/3(2 a/6(1
نقطه O مرکز ثقل مثلث متساوی الاضلاع ABC و BD=CE کدام بیان نادرست است؟ (سخت-سراسری خارج از کشور ریاضی-91)
AOC=120(1
EOD=120(2
OE=OD(3
4)OD عمودد بر BE
مجانس مربع ABCD با نسبت تجانس 1/2 که مرکز تجانس، مرکز مربع است، کدام شکل است؟ (آسان-سراسری ریاضی-73)
1) لوزی است درون مربع ABCD
2) لوزی است خارج مربع ABCD
3) مربعی است خارج مربع ABCD
4) مربعی است درون مربع ABCD
متوازی الاضلاع ABCD در صفحه P مفروض است. یک تبدیل نقطه A را روی C و نقطه D را روی B تصویر می کند. کدام گزینه در مورد این تبدیل نادرست است؟ (آسان-مولف: فاضل مهرآئین)
1) این تبدیل می تواند یک دوران باشد.
2) این تبدیل طولپاست.
3) این تبدیل یک تجانس مستقیم است.
4) این تبدیل اندازه زوایا را حفظ می کند.
مثلثی متساوی الاضلاع به طول ضلع a حول مرکز ثقلش دوران داده می شود. مساحت محصور بین دو شکل کدام است؟ (متوسط-مولف: فاضل مهرآئین)
پاسخ تست های داده شده در فایل ضمیمه آورده شده است.
