سری فیبونانچی و معمای زاد و ولد خرگوش

عدد طلایی

سری فیبونانچی و معمای زاد و ولد خرگوش

سري فيبونانچي               

 

سری فیبونانچی و معمای زاد و ولد خرگوش

در سال 1202 لئونارد فيبوناچي (Leonardo Fibonacci) توانست به يک سري از اعداد دست پيدا کند که بعدها بعنوان پايه براي بسياري از رابطه هاي فيزيک و رياضي استفاده شد، کافي است از عدد صفر و يک شروع کنيد. آنها را کنار هم بگذاريد و عدد بعدي را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آوريد، بسادگي به اين رشته از اعداد خواهيد رسيد :

 

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ...

البته برخي از رياضيدانان عدد صفر را جزو رشته فيبوناچي نمي دانند و يا حداقل آنرا جمله صفرم سري مي دانند. نکته اي که تعجب برانگيز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد اين سري را به عدد قبلي حساب کنيم خواهيم داشت :

 

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...

و يا :

1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179و ...

بله بنظر مي رسد که اين رشته به سمت همان عدد طلائي معروف ميل ميکند. بگونه اي که اگر نرخ عدد چهلم اين رشته را به عدد قبلي حساب کنيم به عدد 1.618033988749895  مي رسيم که با تقريب 14 رقم اعشار نسبت طلايي را نشان مي دهد.

بعدها محاسبات و استدلال هاي رياضي نشان داد که اين سري همگرا به سمت نسبت طلايي مي باشد و جمله عمومي آنرا با بتقريب مي توان اينگونه نمايش داد :

که در آن Phi عدد طلايي ميباشد. البته فرمول هاي دقيق ديگري وجود دارند که اعداد سري و يا اعداد بعدي (Successor) اين سري را نمايش مي دهند که دراين مطلب به آن نخواهيم پرداخت.

 

معماي زاد و ولد خرگوش

در واقع فيبوناچي در سال 1202 به مسئله عجيبي علاقمند شد. او مي خواست بداند اگر يک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاري براي زاد و ولد آنها تعريف کند در نهايت نتيجه چگونه خواهد شد. فرضيات اينگونه بود :

 

- شما يک جفت خرگوش نر و ماده داريد که همين الآن بدنيا آمده اند.

- خرگوشها پس از يک ماه بالغ مي شوند.

- دوران بارداري خرگوشها يک ماه است.

- هنگامي که خرگوش ماده به سن بلوغ مي رسد حتما" باردار مي شود.

- در هر بار بارداري خرگوش ماده يک خرگوش نر و يک ماده بدنيا مي آورد.

- خرگوش ها هرگز نمي ميرند.

 

حال سئوال اينجاست که پس از گذشت يکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهيم داشت؟

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي حدود سال 1200 ميلادي مساله اي طرح کرد : فرض کنيد که يک جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يک جفت خرگوش نر و ماده جديد بدنيا بياورند ... اگر هيچ خرگوشي از بين نرود , در پايان يک سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

 

فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض کند.

پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط يک جفت اصلي وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست ميکند.

سپس او متوجه شد که با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسيم ميشوند: Fn-1 تعداد جفتهاي قديمي و تعداد جفتهاي جديد پس از N-1 ماه است .چون جفت جديد پس از يک ماه توليد ميشود و بعد از يک ماه ديگر اولين جفت خود را توليد ميکند ... تعداد جفتهاي جديد برابر تعداد جفتهاي دو ماه قبل است که با Fn-1 نشان داده ميشود .

پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

با استفاده از اين فرمول و مقادير اوليه F1 =1 و F2 =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يک سال بدست اورد و نوشت F12=233 .

 با يک توافق عمومي مقادير اوليه از 1 و 1 بجاي 1و 2 شروع ميشود (بطوري که جمله هاي دنباله بصورت زير نوشته ميشوند)

... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

پس پاسخ اين سئوال را در ابتداي مطلب بيان کرده بوديم.

مارپيچ فيبوناچي 

به شکل اول نگاه کنيد و ببينيد که به چه زيبايي از کنار هم قرار دادن تعدادي مربع مي توان رشته فيبو ناچي را بصورت هندسي نمايش داد. حال اگر در هر يک از اين مربع ها ربع دايره هايي رسم کنيم در نهايب به نوعي از مارپيچ حلزوني شکل مي رسيم که به مارپيچ فيبوناچي (Fibonacci Spiral) معروف مي باشد. بديهي است که نرخ رشد و باز شدن اين مارپيچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سري فيبوناچي مي باشد.

 

سری فیبونانچی و معمای زاد و ولد خرگوش

سري فيبوناچي چه در رياضيات چه در فيزيک و علوم طبيعي کاربردهاي بسيار ديگري دارد، ارتباط زيباي فاصله هاي خوش صدا در موسيقي، چگونگي تولد يک کهکشان و ... از جمله اين کاربردهاست.

 

منبع :